[组图]高中生对弧度制概念理解的调查研究         ★★★ 【字体:
高中生对弧度制概念理解的调查研究
【本文获区青年教师教育教学课题研究二等奖】
作者:王越偲    教研文章来源:亚盛国际时时彩注册    点击数:9393    更新时间:2011-1-4    
摘  要

“角”在数学教学中是一个相对较复杂的概念,而在对角的认识中,学会度量角的大小是其中的一个重要内容。在高中阶段,学生要学习一种新的度量制度,即弧度制。由于弧度制这种度量方法的基本特点是采用“长度”去度量角,这种用“别人”来量“自己”的方法与角度制有着很大的区别,许多学生都在学习弧度制的过程中遇到了一定的困难。 本研究从学生学习弧度制的现状出发,就“学生对弧度制概念的认知情况如何,出现的主要问题是什么?学生对两种度制的转换以及使用情况如何,与概念的认知是否联系?对直角三角形和单位圆的使用与弧度制概念的掌握是否有联系?”这三个问题展开了对高二年级学生的调查研究,以了解学生对弧度制概念理解的实际情况,探讨对现实教学有价值的教学建议。 本研究通过对高二年级学生的问卷调查、测试与访谈得到如下结论:

1. 学生在弧度制概念的认知上存在概念混淆、表象贫乏,知识点之间缺乏联系等问题。 2. 学生虽然对两种度制的换算掌握较好,但并不清楚换算公式的意义。对于三角函数中角的弧度制(实数)形式作为自变量的理解还有所欠缺。 3. 在解决与三角有关的问题中,学生对直角三角形的使用较为熟练,而对单位圆的使用较为陌生和不熟练。同时,对弧度制概念掌握较好的学生能更好地将单位圆与各种三角知识联系在一起,并运用于实际解决问题的过程中去。 最后,综合调查研究的发现,对弧度制这一概念的教材安排及教学方式的改进提出了一些建议。

关键词:弧度制;概念表象;角的度量;单位圆

“弧度制”是高中数学教材中的一个难点,学生在学习弧度制的过程中往往有“弧度, 弧度, 越学越糊涂”的感觉。但由于弧度制涉及的课时少,并且对学生的考核大多以两种度制的转换为主,许多学生和教师甚至认为高中数学可以不引入弧度制。 事实上,在高中数学中引入弧度制是有其必要性和深远意义的。 我们先撇开弧度制本身来看,对同一个量可以有不同的度量方式,这是非常重要的科学意识。而就引入弧度制本身而言,首先可以看到的是弧度制建立了角度与实数之间一一对应的关系,从而简化了角度制中的60进制计算。 同时,这种将角度单位和长度单位统一起来的做法,又可以将一些我们熟悉的公式简化(如弧长、扇形面积)。而在高等数学中,与三角函数有关的极限、求导等在弧度制下的结论要比在角度制下的简单得多。“统一单位”的另一个重要作用是,当三角函数的定义域的单位是弧度制下的“1”(即长度单位“1”)的时候,那么这时的三角函数就与抽象函数的要求是一致的,因此,弧度制的引入就为我们讨论抽象三角函数的性质带来很大方便,可以从抽象函数的角度研究三角函数的图像、基本性质等,还可以帮助我们建立一些物理模型(如交流电等)(王尚志等,2008)。 鉴于弧度制内容的重要性,和我国目前在该领域的研究现状,本研究希望通过定量和定性的研究和探索,对于学生在弧度制概念的理解上有比较深入的研究,并由此提出相应教学建议。 1. 研究问题

本研究主要目的是通过对高二年级学生的测试与访谈,了解学生对弧度制概念理解的实际情况,探讨能对现实教学提供有价值的教学建议。因此,本文拟研究以下三个问题: 1. 学生对弧度制概念的认知情况如何,出现的主要问题是什么; 2. 学生对两种度制的转换以及使用情况如何,与概念的认知是否联系; 3.对单位圆的使用与弧度制概念的掌握是否有联系。 2. 文献综述

2.1 弧度制发展史简介

弧度的概念是数学家定义了正弦函数、余弦函数和正切函数之后很多年后才提出的(Tara Adamek, Kaitlyn Penkalski, Gina Valentine,2005)。由于像“sin ”这样的表达式中,左边角度是60进制,右边却是十进制数,造成进制的不统一。因此在历史上,很多数学家都进行了统一进制的工作。如希腊的天文学家托勒密(Ptolemy,约公元100年~170年),印度的阿耶婆多(Aryabhata,公元476年~550年)等(胡慧敏,2008)。 在经历了千年之后的1748年,欧拉(Euler)在他的名著《无穷小分析引论》中主张用半径为单位来量弧长,设半径等于1,那么半圆周的长是 ,所对的圆心角的正弦值等于0,即sin =0(梁宗巨,2000)。这就是现在使用的弧度制,显然这种制度统一了角和长度的单位。 综上所述,从弧度制发展的历史来看,它的产生与三角函数的发展有着密切的关系。而利用半径为单位来度量弧长,进而度量弧长所对的圆心角是经过了许多数学家的摸索和尝试才最终达成的共识。了解弧度制产生和发展的历史,可以帮助学生进一步理解学习弧度制的意义和必要性。 2.2 国内外相关研究

2.2.1 国内研究现状 国内关于弧度制研究的文献集中在两个方面,一个是围绕弧度制这节课展开的教材分析和课堂教学设计,另一个是研究弧度制本身的优点和应用。 有关教材分析和课堂教学设计的文章主要有: (1)曾容(1984)在《弧度制的教学探讨》中建议利用角度制中的弧长公式来得到1弧度定义的合理性说明,从而引出弧度制。这与现在使用的上海高中教材(上海教育出版社)中的引入方式基本一致。 (2)石志群(1994)在《从“弧度制”一课谈概念课教学原则的实施》中,通过对弧度制一课的教学设计体现了概念课教学中应当落实必要性、合理性、科学性、直观性、和谐性、巩固性等原则,希望使学生在掌握、理解概念的同时强化对数学知识结构的整体把握,增强数学综合能力。 (3)谢志庆(2000)在《多角度思考、深层次领悟——由 “弧度制” 一课谈对教材的钻研》中对教材中有关弧度制的引入和弧度单位的产生作了深入的分析说明。 (4)张忠旺、杨少平(2000)在《弧度制》一文中采用了张景中院士推荐的用平角作为角度单位的方法作为过渡来设计引入弧度制的概念。 (5)赵荣松(2002)在《浅议弧度制的演示实验教学》一文中用建议使用自制教学工具“双用量角器”来解决学生对“角度可用实数来表示”感到的困惑,利用“形境记忆”的特殊功效,帮助学生突破“角度与弧度数”两者之间一一对应关系这一难点。 (6)熊远程(2002)在《关于“弧度制”的教材处理与教学建议》中通过分析难点成因给出教材处理的方法和教学建议。 (7)张景中(2007)在《三角下放 全局皆活(续)——初中数学课程结构性改革的一个方案》中设计了用平角作为角度的单位,并用这种度量制度作为过渡,帮助学生掌握弧长的计算和角的弧度制。 (8)胡慧敏(2008)在《HPM角度下的弧度制概念教学》一文中阐述了如何合理利用数学史中的有关知识帮助学生理解弧度角的由来和有关定义,以及确立起1弧度≈57.30°的表象。并同时给出了一些教学设计的建议。 (9)徐章韬(2008)在《基于数学史的弧度制概念的教学设计》中,也从数学史的有关知识出发,分析了弧度制的产生发展,并给出了一些基于数学史的教学案例设计。 有关研究弧度制本身的优点和应用的文章主要有: 拾叶(1984)的《弧度制有什么优点》;田新(1999)的《一场有意义的争论——关于三角函数定义的两重性》;尹建堂和张骁伟(2004)的《简议“弧度制”及其应用》;蒋永红(2004)的《趣谈任意角和弧度制》;王尚志、胡凤娟、付丽、张思明、袁芹芹(2008)的《为什么要引入弧度》等等。 2.2.2 国外研究现状 在笔者收集到的范围内,国外关于弧度制研究的文献主要有以下几篇: (1)C.Fi(2003)的《 Preservice Secondary School Mathematics Teachers’ Knowledge of Trigonometry》。这篇论文调查了数学职前教师的专业知识及其三角学的教学知识。在关于角度和弧度的这部分研究中,作者发现尽管这些职前教师可以在弧度制和角度制之间进行转换,但职前教师们都更喜欢使用角度制而不是弧度制,并且他们中没有任何一个人可以将弧度定义为圆心角所对应的弧长比上圆的半径的比例。同时,作者还发现有一些参与者将π看成是弧度制的单位,并认为1弧度就是180°。 (2)T.Topcu,M.Kertil,H.Akkoc,K.Yilmaz,O.Onder(2006)所著的论文《Pre-service and in-service mathematics teachers’ concept images of radian》。论文调查了37名职前数学教师和14名在职数学教师关于弧度制概念的认知情况及其概念表象的来源。调查问卷的数据显示,大多数参与测试的对象对弧度的概念表象还不够丰富,并受到他们对角度的概念表象的支配。从访谈中作者发现等式 扮演了认知单位的角色。另外,参与测试的对象对于作为实数的π的概念表象和作为三角学中π的概念表象是不同的。 (3)Hatice Akkoc(2008)的论文《Pre-service mathematics teacher’s concept images of radian 》,作者研究了职前教师对于弧度的概念理解。研究发现他们对于这个概念的理解并不是很深刻,并且深受角度概念的影响。同时,那些具有较强的弧度概念的人往往将单位圆和其他三角学概念更紧密地联系了起来,而那些有较强角度概念的人,则更惯于使用直角三角形。 (4)Erika Kupková(2008)的《Developing the Radian Concept Understanding and the Historical Point of View》。作者论述了如何通过三角学的历史和现代运用来帮助学生理解弧度制的概念。 除了以上这些文献,其他关于角的研究的文献多集中于学生对于角的概念的理解(Mitchelmore,1998;Mitchelmore &White,2000;Keiser ,2004;Clements & Battista, 1990; Simmons & Cope, 1990; 1993)。 3 理论框架

由于本文涉及到学生对于“弧度”数学概念理解的问题,同时也涉及到对学生回答的评价问题,因此在本章节中,笔者将研究中所涉及到的2个相关理论作一个简要的陈述。其中“概念表象和概念定义”的关系将用于分析造成学生的各种错误回答的原因,“SOLO分类评价理论”将用于分析学生对于1弧度定义的陈述。 3.1概念表象和概念定义

Vinner 和 Hershkowitz 在1980 年对“概念表象”和“概念定义”做了区分。他们提出数学学习中个人内部思维使用的并不限于文字描述的定义,内部信息更多地表示为与概念有关系的性质和心理图形的组合,为了突出它们在个人概念结构中发挥的作用,他们称:“我们将用概念表象描述与概念有关的整个认知结构,它包括所有的智力图形和相关的性质与过程……把在特殊时间里起作用的概念表象部分称为被唤起的概念表象,概念定义是用来特别说明概念的一种词语形式。” 数学概念表象在数学概念形成、理解、运用中有着重要作用,它构成了数学概念的关键部分。学生在记忆、表征、运用数学概念时,多是与概念表象相联系(李善良,2002)。定义与概念之间本身不能等同起来,学生要掌握的是概念,定义则是概念的一种外部表达方式,是认识概念实体的工具之一,二者不应画上等号。 总的来说,定义与表象是一个硬币的两面,它们各有侧重,又相互补充,相辅相成,在帮助学生形成和运用概念方面共同发挥作用。理想的思考过程应当既借助于表象这个直观的思维媒介,减轻思维负担,又参考概念定义,避免或纠正可能发生的错误(李士錡,2001)。 3.2  SOLO分类评价理论

“SOLO” (Biggs, J. B.&Collis ,K. F. 1982)是英文“Structure of the Observed Learning Outcome”首字母的缩写,意思是“观察到的学习成果的结构”。 SOLO理论将学生学习的结果由低到高分为五个不同的水平: (1)前结构水平(Prestructural):学生基本上没有解决问题的简单知识,或者被情景中无关的方面所迷惑或误导,不能以任务中所涉及的表征方式处理任务,或为以前所学的无关知识所困扰,关注问题中某些偶然的不相关的信息,回答问题逻辑混乱或同义反复。 (2)单一结构水平(Unistructural):学生能够使用或获得要解决问题的一个或多个部分特征,能够找到一个相应的解决办法,但只能联系单一事件,急于追求答案,忽视题目中多种相关资料的区别和联系,往往是找到一个线索就急于得出结论。 (3)多元结构水平(Multistructural):学生能够找到越来越多的正确的相关特征或线索, 却不能觉察到这些特征或线索之间的联系, 不能对线索或特征进行整合,常常给出一些支离破碎的信息。 (4)关联水平(Relational):学生能够使用所有可获得的线索或资料,并将任务的各部分内容整合成一个有机的整体,能够联想多个事件,并将多个事件联系起来回答或解决较为复杂的具体问题;能够检查错误或矛盾。 (5)扩展抽象水平(Extended Abstract):学生超越资料进入一种新的推理方式,能将关联的结构整体概括到一个更高的抽象水平,并且使这种概括化拓展到一个更高的抽象水平,会归纳问题,在归纳中概括考虑了新的和更抽象的特征;结论具有开放性,能拓展问题本身的意义。这一层次的学生表现出更强的钻研精神和创造意识。 4 研究方法与实施

4.1 研究方法

本文将通过调查研究对文章开头提出的3个问题进行研究。这次调查研究采用定量加定性的研究架构,采用问卷调查法,个别访谈法来进行。数据分析均采用Excel2003软件。研究的流程如下: 文献研究→确定研究问题并制定研究计划→编制问卷→正式问卷调查→数据初步处理及个别学生访谈→数据分析以及定性的问卷分析→综合分析并得出结论→教学建议 4.2问卷调查实施

4.2.1问卷设计 问卷有10个题目。内容分为三大块:一、考查学生对弧度制概念的认知情况;二、考查学生对于两种度制的转换和使用情况;三、考查学生对直角三角形和单位圆的使用情况。分布情况见表1, 详细测试题请参考附录1。 表1  正式问卷题目类型与分布

问题

内容

题号

概念认知

1弧度的概念

1、2、6

弧度制的合理性及其与弧长公式的关系

3、4、5、

两种度制的转换和使用

弧度制和角度制的换算

7

弧度制在三角函数中的运用

8、9

对直角三角形与单位圆的使用情况

对直角三角形的使用及单位圆的认识和使用

10

合计

 

10

4.2.2 研究对象 (1)问卷测试对象 由于研究的条件限制,本次问卷测试的对象是来自笔者所任教的一所上海市某重点中学高二年级的其中8个班,具体分布参考表2。生源水平属于中上。 表2  测试对象分布
班级

二(3)

二(4)

二(7)

二(8)

二(9)

二(10)

二(11)

二(12)

合计

男生

20

21

21

22

21

19

20

23

167

女生

25

22

24

22

24

24

25

25

191

人数

45

43

45

44

45

43

45

48

358

(2)访谈对象 针对问卷测试题中学生的回答情况,挑选了特定学生,围绕测试问卷进行访谈。总计访谈对象10名。 4.2.3 问卷实施 2010年4月9日下午对所选的研究对象进行了问卷调查,交由各班任科老师具体负责监考(笔者监考了其中一个自己任教的班级),时间为45分钟。发出问卷358份,回收有效问卷331份。 4.2.4 数据编码 对回收的每一份试卷,笔者都用一组不同的6位数字编码。编码规则如下: ① 第一位数码表示被试所在年级; ② 第二、三位数码表示被试所在的班级; ③ 第四、五位数码表示被试在本班的学号; ④ 第六位数码表示性别,1表示男生,0表示女生。 问卷编码后,每一位被试都有一个唯一的编码,以方便区别和查询。例如211070代表的是高二(11)班学号为7号的女生。 4.3 数据分析及访谈

4.3.1 1弧度概念的认知 (一)1弧度概念的定义 问卷测试题中关于这个方面的考查题有1、2、6。以下分别就学生对这些题目的回答作出分析。 1、第1题:请用你自己的语言叙述1弧度角的概念。 通过对被测学生回答情况的分析,发现对该题的回答呈现出不同的水平,笔者借鉴SOLO分类方法,将学生对此问题的回答分成三个水平。具体划分标准说明如下: 水平一:相当于SOLO分类系统的前结构水平。 这一水平的学生回答表现为空白的回答、完全错误的回答、不合逻辑无法理解的回答。例如回答: u      把圆分为360份;

u      1°所对的弧长;

u      用 来表示角

水平二:相当于SOLO分类系统的单结构水平和多结构水平。 这一水平的学生回答表现为能够认识到1弧度这个概念的一个或多个侧面,但是不能准确地把握概念的核心部分内容。例如回答: u      1弧度比10大的多;

u      弧度可以让角度用实数来表示;

u     

水平三:相当于SOLO分类系统的关联水平。 这一水平的学生回答思路清晰,能够把握住1弧度定义的实质与核心。例如回答: u      把圆分成2 份,每一份所对的圆心角的大小就为1弧度;

u      弧长等于半径的弧所对的圆心角

根据学生的回答情况,将每位同学的回答按上述标准做了水平划分,并进行了人数和百分比的统计,见下表3: 表3 高二学生对于1弧度概念的回答水平分布情况

水平一

百分比(人数)

水平二

百分比(人数)

水平三

百分比(人数)

合计

48.9%(162)

20.2%(67)

30.8%(102)

331

以下是每一水平中典型叙述的统计情况: 表4   水平一中的回答的类型及相关人数的统计
序号

类型

人数

1

空白没有回答

73

2

表示角

6

3

4

4

/ 平角的180分之一/ 的180分之一

19

5

所对的弧长/把圆分为360份

9

6

循环定义,如:1弧度所对的角

12

7

弧长为1的圆弧所对的圆心角

25

8

弧长公式

4

9

其它

10

合计

 

162

表5   水平二中的回答的类型及相关人数的统计

序号

类型

人数

1

1弧度比 大得多

2

2

弧度让角度可以用实数表示

7

3

/

58

合计

 

67

表6 水平三中的回答的类型及相关人数

序号

类型

人数

1

把圆分成2 份,每一份所对的圆心角的大小就为1弧度

20

2

弧长等于半径的弧所对的圆心角

78

3

单位圆中,弧长为1的圆弧所对的圆心角

4

合计

 

102

从以上四个表格来看,发现被试中约有三分之二的学生对于1弧度的定义不能准确把握。其中有四分之一的学生选择采用与角度制转换的方式来描述1弧度的定义,可见角度制与弧度制的转换公式(尤其是180°=π这个表达式)成为了学生在这部分概念中的一个重要的表象,但是他们却不能将这一表象和定义联系起来。事实上,这与学生接触的练习题的类型有很大关系,不论是教材中的练习还是练习册的习题,或者是各类测验考试,学生都只是不断地对角度与弧度的转换进行着一遍又一遍的运算。这个现象不仅只出现在弧度制这节内容,在数学的许多其他的章节的学习中也是如此。这种单一形式的练习导致了一些学生把数学看作就是这些过程,这些细枝末节。除此之外再没有别的更重要的东西;甚至将过程、法则当作无意义的符号游戏(李士錡,1999)。 从水平一的学生的叙述中不难看出,有些学生出现了弧长与弧度概念的混淆(水平一类型8),有些则片面理解了用单位圆方式来定义的1弧度(水平一类型7),有些便用π作为“形象描述”(这是一种概念表象形成中的错误,数学概念表象中有许多表象是通过学生自己的言语符号描述的。这种描述介于实验、实例与概念定义之间,具有“形象”性(李善良,2002))代替数学概念(水平一类型2)。这些问题反映出学生对于利用“长度”去量角的度量方式(即用“别人”来量“自己”)及其合理性没有完全理解和接受。 2、第2题:请你简单估算一下1弧度=____________度(精确到0.01)。 经统计,发现部分学生由于取了π的近似值而导致运算结果为57.32°、57.31°、57.29°、57.28°。由于这是取近似值出现的计算问题,与笔者关心的问题无关,因此均算为正确。另外还有学生写的是 ,也算为正确,除了这五个答案以及标准答案这六个数值以外的其他数值均算为错误答案。 虽然该题回答正确的人数为252人(76.1%);但也有79人(23.9%)回答错误,其中有24人是空白没有填写;21人的回答是1弧度=0.02度;还有34人为其他答案:比如1弧度= 、1弧度= 等。在第1题中空白没有回答的73位学生(即水平一的类型1)中,有56位答对了第2题,即这56名学生即便回答第一题也只能写出1弧度转换成角度的近似值。 3、第6题:判断下列说法正确与否,并说明理由。 (1) 1rad是一个近似值。  判断______理由_________________; (2) 实数1=1(rad)。    判断______理由_________________; (3) 1rad实质上指的是弧长的大小。 判断________理由__________; (4) 如果一个角用弧度制表示了,那它一定含有 。  判断_____理由_____; 根据被测学生的判断,对整体及每一小题做了正确率的统计,如下表7所示: 表7  高二学生第7题答题正确率及人数统计
题7

(1)

(2)

(3)

(4)

合计

正确率(人数)

58%(191)

88%(291)

78%(258)

64%(211)

72%

为了进一步分析学生判断的依据,尤其是导致学生形成错误表象的原因,接下来将对4个小题学生判断的典型理由做一个统计分析,如下表8所示: 表8  对第(1)小题判断错误的理由类型及相关人数分析
序号

类型

人数

1

不是一个精确值

43

2

或者表达1rad由角度转化来

17

3

其他(如:弧长是近似值)

6

4

空白

74

合计

 

140

图1   6(1)错误类型1中的学生211150回答 从上表中看到,有43%(理由类型1、2共60人)认为1弧度转化成角度时,在式子中出现了 ,因此是一个近似值(见图1)。这与学生对无理数π的理解有关。笔者又查看了这60名学生在第1题的表现,发现居然有19人来自第1题中的水平三。笔者挑选了其中一名学生203441进行了访谈,发现这部分学生将概念定义“束之高阁”,用背诵的方式来记忆,不与具体问题产生联系。 背定义、法则对理解和掌握使用没有什么大帮助, 只会加重记忆负担,好办法则是帮助学生建立和利用适应自己的概念表象(李士錡,2000)。学生对1弧度定义的理解应该多与圆这个图形以及其所包含的圆心角、弧长等概念进行联系,并将π这个实数在圆(尤其是单位圆)中更形象的体现出来,让学生形成形象生动的、便于记忆和运用的表象。 对第(2)小题判断错误的理由类型及相关人数分析如下表9所示: 表9 第(2)小题判断错误的理由类型及相关人数分析

序号

类型

人数

1

弧度与实数有联系(或弧度与实数一一对应)

11

2

两者意义相同

4

3

弧度单位可以省略

7

4

弧度可以标于直角坐标系中,所以与实数等值

2

5

其他

4

6

空白没有理由

12

合计

 

40

类型1、2、4的学生认为弧度由于与实数有一一对应的关系,所以实数1=1(弧度)。这部分学生的问题在于,他们很自然地把这种“对应”理解为“相等”。虽然在研究三角函数的时候角通常都用弧度制方式来表达,并标于直角坐标系中,但是这些实数只是“代表”一个角的大小,也就是这些实数本身都“对应”着一些角的大小而已。 类型3的学生认为一个角的弧度单位省略之后就和实数一样了。教材上的确对弧度单位可以省略做出过说明,但是角度和数并不能等同,尽管它们有时在书写形式上相同。就如(-1,1)即可以说是一个区间,也可以说是一组点坐标。尽管它们在形式上相同,但实际的涵义是不同的,而究竟代表哪种涵义要视具体背景而定。 对第(3)小题判断错误的理由类型及相关人数分析如下表10所示: 表10 第(3)小题判断错误的理由类型及相关人数分析
序号

类型

人数

1

与定义相符或者表达由定义得到

25

2

半径为1的圆中的弧长

4

3

其他

2

4

空白没有理由

42

合计

 

73

图2   6(3)错误类型2中的学生209251回答 从表10中可以看到,该题错误的学生中有超过3成的人认为可以从1弧度的定义中得到1弧度指的是弧长的大小。这部分学生犯的错误与第1题统计的水平一中类型7的学生所犯的错误有着相似之处,同时还存在着弧长和弧度概念上的混淆。而类型2的学生能够意识到弧度数与弧长与半径的比值有关,并对单位圆这个工具有所了解,但是对于弧度本身表示的是角的大小这一概念并不清晰。 对第(4)小题判断错误的理由类型及相关人数分析如下表11所示: 表11  对第(4)小题判断错误的理由类型及相关人数分析
序号

类型

人数

1

弧度制与角度制转换中有 /列出转换公式

51

2

举例说明

8

3

其他

7

4

空白

54

合计

 

120

从上表中我们看到,有43%学生陈述的理由是转换公式中含有 ,7%的学生写出了一些特殊角。为了进一步了解这些学生的想法,笔者对其中一名没有陈述理由的学生211140做了访谈,从访谈中笔者发现有一些学生把π当成了弧度制的单位,从而替代了弧度制本来的单位“弧度”。这点与C.Fi(2003)的发现类似。在第一题的回答处于水平一的部分同学也有类似的现象,这再次说明了虽然π这个“符号”成为学生在学习弧度制内容中的一个强烈的占据主导地位的表象,但是许多学生对于π的理解以及运用并不到位。 (二)弧度制的合理性及其与弧长公式的关系 关于这个方面的测试题主要涉及3、4、5。以下分别就学生对这些题目的回答作出分析。 1、第3题:请你叙述一下弧长公式。 按照学生回答的情况,统计了该题的正确率为65.9%(218人),比预想中的还要低一些。其实通过学生已有的圆的周长公式以及圆心角与圆周角的比例可以很容易地推导出圆的弧长公式。说明答错的学生并没有将上述两个显而易见的知识点联系起来,事实上这也是许多学生在学习数学公式时的一个弊病,不懂得公式间的相互联系,用以孤立的方式来记忆公式,很容易遗忘。在答对的学生中有63.8%的人能准确写出弧度制下的弧长公式。用角度制来表示的36.2%的学生中,有的还在试卷上写下了推导的过程,这也从一个侧面反映出一些学生对这个公式并不熟悉,并且在学习弧度制时并未对简洁的弧长公式留下深刻的印象。
2cm

1cm

2、第4题:在下列圆中试着标出1弧度的角,并分别计算其所对的弧长。

设计本题的目的在于检测学生是否知道半径对弧度数以及弧长造成的影响。在统计时,只有在两个圆中标出的1弧度大小都约60°左右,且所得的弧长大小均正确(不写单位“cm”不算错)才算回答正确。而对于这两个圆的解题过程中错一个或者全错,则视作回答错误。下表是对该题的正确率的统计情况:           表12  第4题正确率及人数统计

    弧长计算

 标出1弧度

弧长计算正确人数

(百分比)

弧长计算错误人数

(百分比)

总人数

(百分比)

正确标出人数

143(43.2%)

65(19.6%)

208(62.8%)

错误或不标人数

10(3.0%)

113(34.1%)

123(37.2%)

总人数

153(46.2%)

178(53.8%)

331(100%)

从上表中可以清楚的看到,总体而言本题的正确率不容乐观,既能正确标出角又能准确计算弧长的学生刚超过4成。本题弧长计算正确的人数只占总人数的46.2%,比第3题(弧长公式)的正确率还要约低20个百分点,这表示有部分学生虽然能复述弧长公式,但事实上并不清楚弧长公式中的符号涵义。另外,该题中能在两个圆中都正确标出1弧度大小的学生刚刚超过6成,对比第2题76.1%的正确率,发现在正确估算1弧度近似值的学生中仍有相当一部分同学标错或者不标。这说明部分学生对于弧度大小是否会受到所在圆半径影响还不能做出判断,同时也反映出学生直观作图的意识能力还有待加强。 4、第5题:你认为弧长公式与1弧度的角之间存在关系吗?请说明理由。 经统计,认为有关系的占总人数的66.8%(221人),认为没有关系的占总人数的14.2%(47人),没回答或表示不清楚的占总人数的19.0%(63人)。若仅从判断来看,正确率还是不错的。以下先对答对学生所陈述的理由作出分析: 表13  第5题答题正确的理由类型及百分比(人数)统计
序号

类型

占答对人数百分比(人数)

1

复述错误的弧长公式

8.1%(18)

2

列出 或在此基础上表达 影响

39.4%(87)

3

说明当 时所对角为1弧度

15.4%(34)

4

其它

3.2%(7)

5

不作答或表示不知道

33.9%(75)

合计

 

总答对人数:221人

图3 第5题正确类型3的学生203040回答 从表13中可以看到,在所有答对学生中有75人没有写出判断的依据,所占的比重还是相当大的。这部分学生尽管判断正确,但是事实上对于这个问题的认识是很不够的。在所陈述的理由中,比较集中的理由是类型2(占答对人数的39.4%)。这87名学生能利用弧长公式来表达 之间存在关系,但并不能准确的指出1弧度角的定义是如何由此而来,说明并没有将弧长公式与1弧度角的定义密切联系起来。从类型3中的34名学生所陈述的理由可以看出,他们已经能够准确地认识到单位弧度的定义就是由弧长公式中令 这一特殊值得来的。 该题答错(包括不回答)的学生的理由类型及人数百分比如下表14所示: 表14 第5题答题错误的理由类型及百分比(人数)统计

序号

类型                                    

占答对人数百分比(人数)

1

弧长与半径有关

23.4%(11)

2

表示1弧度角是一个定值

10.6%(5)

3

其它

6.4%(3)

4

不作答或表示不知道

59.6%(28)

合计

 

47人

图4   第5题错误类型2的学生212190回答 从表14中看到,在答错的学生中不陈述理由的占了绝大多数。由此,答对的学生中不陈述理由、答错以及对该题未作出判断的人数的总和为185人(占总人数的55.9%)。也就是有一半以上的学生其实并不清楚弧长公式与1弧度角的定义之间有怎样的联系。类型2中的学生只是用数值化的观点来看1弧度角,但并不知道它是如何而来的。在上海高中数学教材中,1弧度的定义是用圆心角与其所对的弧长的关系来引入的,但显然学生不论是对定义还是这个引入的过程印象不深刻,弧度制在学生的头脑中渐渐变成了一个没有意义的转换公式。 4.3.2 两种度制的转换和使用 弧度制和角度制的换算 问卷测试题中关于这个方面的考查有第7题。以下就学生对该题的回答作出分析。 第7题:请你给出弧度制与角度制转换的一般公式,并将以下所给出的角度(弧度)转换成弧度(角度)。 一般公式: ________rad; (_______)0;(1) ______;(2) _____;(3) _______;(4) _____;(5)- ________;(6) =________。 学生在两个转换公式及6个小题中的正确率及人数如下表15所示: 表15  第7题学生回答正确率及人数统计

题号

公式1

公式2

1

2

3

4

5

6

正确率

(人数)

64.4%(213)

42.0%(139)

92.7%(307)

90.9%(301)

88.8%(294)

91.8%(304)

84.0%(278)

86.7%(287)

从上表中可以明显看出,两个公式的正确率是最低的。从上述数据的对比不难看出,许多学生并不是利用公式来进行转换的,而是利用特殊角的转换,再通过比例关系来实施具体的转换的。这也从一个侧面说明学生从特殊到一般的归纳能力还有待提高。事实上,这个所谓的比例关系如果加以仔细分析是不难得到转换公式的。再对比第1题近5成的学生回答还处于水平一这个数据,也再次说明了许多学生把定义和运算分隔开,概念表象之间不互相联系。

 

弧度制在三角函数中的运用 问卷测试题中关于这个方面的考查有第8、9题。以下就学生这些题的回答作出分析。 第8题:若函数 (x∈R),其定义域为实数集,值域也为实数集,请在同一个直角坐标系中标出以下5组点(请注意(b)和(d)这两组坐标的纵坐标并不是建立在相应的横坐标基础上的): (a) (b)  (c)  (d)  (e) 对第8题正确率分析如下表16所示: 表16     第8题五个点坐标分析
点坐标

a

b

c

d

e

正确率(人数)

34%(113)

35%(116)

69%(228)

81%(268)

37%(122)

分析学生对于这几组点坐标的描点情况,笔者发现错误主要集中在将30、60默认为是角度制,或将 等在横坐标上标为30、90,或是不知道3是弧度制中的表达形式。也就是说,学生对于一个角的表达形式的判断依据有时依赖于一些特殊的数字(比如30、60、π),而并非它们的单位,这与Hatice Akkoc(2008)论文中所得到的结论一致,即大多数参与测试的对象对于弧度制概念的理解很大程度上受到其对于角度制概念理解的影响。同时,许多学生只有在角是以含有“π”的形式表示时才会将角与弧度制联想在一起,说明他们对角度制的概念理解是很强烈的。另外,这也说明学生对弧度制表示的角作为自变量在函数中的运用不熟悉。虽然许多学生能认识到弧度制的“实数化”这一特点,但对于“实数化”在研究三角函数中的作用却没有较多的认识。 第9题: 若函数 (x∈R),已知 ,求x的值. 此题用弧度制解题的学生为311人(94%),用角度制解题的有20人(6%),即绝大部分的学生选择采用弧度制来答题。在用弧度制答题的学生中有149人(占总人数的45%)答对,答错的人中近一半的人写的是 ,另一半是虽然从其解的形式来看有无穷多个解,但无法写出正确答案。用角度制解题的20人写的均为一个或两个用角度制表达的特殊角。在学习三角方程时,教师一般都会强调角的范围以书写形式,有固定的公式可循。但尽管如此,许多学生对于角的认识仍停留在锐角或平角的范畴内。这与学生以往接触的直角三角形以及量角的工具——量角器有关,也就是产生了负迁移的作用。另外,这也反映出学生对于公式的记忆是十分机械的,没有办法通过三角函数的图像或者单位圆来帮助解题。 4.3.3 对单位圆的使用 问卷测试题中关于这个方面的考查有第10题。以下就学生该题的回答作出分析。 10.(1)请你解释一下什么是单位圆?(2)对你而言,在学习三角知识的过程中,直角三角形和单位圆的地位和重要性是怎样的? 对第(1)题回答类型及人次统计如下表17所示: 表17 第10题回答类型频数统计
序号

类型

人次

1

直角三角形是任意三角形的特例,可以先由此得到一些结论,再加以推广(如:正余弦定理)

183

2

利用直角三角形计算三角比的值(或绝对值)

128

3

表示重要,但不举任何例子说明

40

4

表示不重要

8

5

空白

8

合计

 

367

在上表中看到有超过一半的学生会利用直角三角形这一特殊形状来帮助得到或者记忆一些三角公式中的更一般的结论,如解斜三角形中的正弦定理和余弦定理均可由直角三角形中的结论推广得到。有近四成的学生利用直角三角形来计算三角比的值。从这里可以看出学生平时在解决与三角有关的问题中对于直角三角形的使用还是比较频繁的。 对于单位圆的解释答错或者不回答的人只有42个,也就是几乎所有的学生都知道单位圆的概念。 对于单位圆的运用如下表18所示: 表18 第(2)题回答类型频数统计
序号

类型

人次

1

观察三角函数的值的变化及范围、单调性等

148

2

很重要,但不举例子或表示不知道如何使用

100

3

数形结合

48

4

计算特殊角的三角比的值

24

5

空白或其它(如写出曲线和方程的关系:

19

6

角度和弧度数互化

12

合计

 

351

从上述分析中可以看出,近一半的学生能够将单位圆与三角函数的定值域、单调区间等各种性质结合在一起,这与教材出现的正余弦线的概念以及老师平时解题时的使用很有关系。但是对比第9题答题的情况,发现一部分学生只是停留在“说”的水平,并不能真正掌握这一方法。从该题统计中看到,表示不知道或者体现出不清楚如何使用单位圆的人数比直角三角形中的这部分人数多了近一倍。因此,相对而言学生对于单位圆的使用不如直角三角形频繁。 为了研究学生对单位圆的使用与弧度制概念的掌握是否有联系,笔者根据学生在问卷中第1、2、6、8、9这几题的回答正确率,将学生分为两组,第一组由对弧度制有着清晰强烈概念的学生组成(以下简称第一组),他们在第1题的回答处于水平三、第2、9题回答正确、第6题至少答对3问、第8题至少答对4组点坐标。而另一组为对角度制有较强概念的学生(以下简称第二组),他们在第1题的回答处于水平一、二、第2、9题至少答错一题、第6题至少答错2问、第8题至少答错2组点坐标。在这两组学生中,笔者各挑选了4名学生进行访谈(第一组中的四名为208020、208080、207171、208391;第二组中的四名为207140、208050、207401、208160),访谈的的时间是2010年5月21日,访谈内容均用现场录音的方式记录,访谈提纲见附录2。 由于篇幅限制,此处就不再将访谈的内容一一列举。以下笔者将对两组对象访谈内容作了小结和整理,并得到以下结论: 1、两组学生共同之处 ① 对于弧度制与角度制联系的最深刻印象即为转换公式(或者180°=π),但是对于作为实数的π和作为180°的π是如何联系起来的这一问题却很少有人能作出合理解释,并对于π何时作为实数、何时作为180°并不能很好地区分开。在所有的八位访谈对象中只有一名能够利用单位圆回答180°=π,并在实际问题中给出正确回答及解释。 ② 更倾向用角度制来想象和表示角,认为角度制更直观。 2、两组学生的不同之处 ① 对于弧度制有较强概念的学生对于1弧度定义,以及弧度制这种利用“长度”来度量角的特点理解得更准确,并可以将定义更好的与其他的知识点(如弧长公式等)结合起来。 ② 对角度制有较强概念的学生则更多地将“π”看成是弧度制的“标志”,这很大程度上受到了特殊角的影响。同时,对于一个角的表达形式也更多依赖于特殊的数字。并且,对于计算器的使用输入状态不能很好的把握。 ③ 对弧度制有较强概念的学生对于弧度制的“实数化”在函数中的运用掌握得更好。 ④ 对弧度制有较强概念的学生对单位圆的运用更多,更充分。能够把单位圆与更多的三角中的知识点结合在一起。 5 调查研究的的结论与启示

5.1 调查研究的的结论

通过本次对高二年级学生的问卷调查的数据整理以及访谈分析,笔者得出了以下几个结论。 1. 学生对于弧度制概念的认知上存在概念混淆、表象贫乏,知识点之间缺乏联系等问题。 问卷测试结果显示,三分之二以上的学生对于1弧度的定义不能准确把握,大多数学生对1弧度概念的表象贫乏,并且在解决问题时这些表象之间并不相互联系。同时,至少有三分之一学生对于弧长公式的掌握存在问题,只有不到10%的学生真正能理解弧长公式与1弧度角定义的合理性之间关系,说明学生对弧度作为度量单位的合理性的理解不深刻。另外,部分学生对于弧长和弧度、弧度制表示的角和实数存在概念上的混淆。 研究中还发现,学生对于一个角的表达形式的判断依据有时依赖于一些特殊的数字而并非它们的单位。π这个“符号”成为学生在学习弧度制内容中的一个强烈的占据主导地位的表象,但是许多学生对于π的理解以及运用并不到位。部分学生把π看成是弧度制的单位,这也印证了Hatice Akkoc(2008)研究中的结论,即除非在角度的表达中出现π,否则总是倾向于认为这个角是用角度制来表示的。另外,部分学生对无理数π的错误认识也干扰了他们对于1弧度作为弧度制度量单位的认识。 2. 学生虽然对两种度制的换算掌握较好,但并不清楚换算公式的意义。而学生对于三角函数中角的弧度制(实数)形式作为自变量的理解还有所欠缺。 问卷测试的结果表明,学生对有关具体数值的角度和弧度的换算掌握较好,并对两种度制的转换公式印象深刻。在方法上,大多数学生能熟练180°=π来实施换算,但从访谈中看出,很少有人能够将180°与实数π的联系通过圆或者是单位圆来阐述清楚,这与Hatice Akkoc(2008)的访谈资料中的结论类似。说明学生并没有将运算公式与1弧度的定义产生联系。部分学生将作为数字的π和描述角的大小的π完全区分来,对弧度制中的π的理解主要还停留在特殊角的表达上。 3. 在解决与三角有关的问题中,学生对直角三角形的使用较为熟练,而对单位圆的使用较为陌生和不熟练。同时,对弧度制概念掌握较好的学生能更好地将单位圆与各种三角知识联系在一起,并运用于实际解决问题的过程中去。这一点与Hatice Akkoc(2008)得到的结论类似。 5.2 调查研究的启示

1.注重弧长公式与1弧度定义之间的联系,帮助学生理解定义的合理性。在引入定义的过程中,将弧度制中新的概念与学生已有的圆的周长、圆心角等知识产生联系。 问卷结果显示大部分学生不能准确把握1弧度的定义,也没有将弧长公式与1弧度定义之间联系起来,甚至出现将弧度与弧长概念混淆以及背诵定义的现象。这反映出学生对于弧度作为度量单位的合理性的理解不深刻,严重影响了学生对于这一新知识的接受和使用。同时,虽然绝大部分学生都能将 熟练地运用在两种度制的换算中,但许多学生对于180°=π并不能解释清楚。这些现象都是由于学生用“孤立”的方式来记忆知识点的结果。因此在平时教学中,教师更要注意将相关的知识点联系起来,既有助于学生更好地理解原有的知识,形成良好的知识网络,也有助于新知识的纳入。 2. 建议教材在弧度制部分引入单位圆概念,并利用单位圆进一步加深学生对于弧度制这种新的度量制度的理解。 单位圆是贯穿整个三角章节的一个重要工具,因此它与许多知识点都有着密切的联系。这里并非指直角三角形不重要,但是对于单位圆的运用更体现了学生对于“任意角”这一范畴内的各种三角概念的理解和掌握。另外,单位圆对于学生理解弧度制的度量特点也有着重要的作用,学生可以利用单位圆来体会如何使用“长度”来度量角。由于上海现行的教材在弧度制这一节的内容中没有出现单位圆这一概念,可以尝试将单位圆这一图形在定义弧度制时就让学生接触,这样更有利于学生理解弧度制并将单位圆与其他知识点联系在一起。 3. 让学生对于无理数π的认识更准确。 从本次调查问卷的分析及访谈中看到,π这个“符号”成为学生在学习弧度制内容中的一个强烈的占据主导地位的表象,但是许多学生对于π作为无理数的理解,以及作为实数的π和作为180°的π的联系认识不清,甚至认为π是弧度制的单位。这些错误认识干扰了学生对1弧度概念的理解。在平时教学中,可以通过类似180°=π这样的关系来引出对于π的思考,让学生结合1弧度的定义、单位圆等工具来作出合理解释。这样既可以让学生对于π本身有个正确的认识,又可以帮助学生将定义和各种知识点联系起来。 4. 教学时引导学生理解引入弧度制的意义和作用,尤其是对于研究三角函数的作用。 从问卷调查的分析中可以看出,学生更倾向于将角看成角度制的形式,并且一部分学生无法分清角度制和弧度制在研究三角函数中与实数的关系(如:在 x轴上将π标为180而不是3.14.)。因此,有必要在教学过程中强调角的弧度制形式(实数)对于研究三角函数的作用,让学生借此对两种度量制度作进一步的深入思考和比较。在此过程中,教师还要给学生提供讨论和质疑的机会,注重学生的实际感受过程和理解水平,给学生思考的时间,否则学生的思维将永远封闭在“教材上写的”和“老师说的”这两个狭小的空间里。 5. 丰富习题的形式和内容,促进学生形成丰富的、彼此联系的弧度概念表象,推动学生理解水平的发展,提高学生的综合应用能力。 目前学生所接触的练习(包括教材、练习册、各类教辅书)大多都以单一的换算练习为主,这是造成学生具体换算掌握较好,但概念表象单一的重要原因之一。可通过丰富题型和内容,比如增加一些作图题、围绕概念出发的判断选择题、生活中的问题等来改善学生表象贫乏和孤立的状况。 5.3 本研究的不足及进一步研究的方向

以上所得到的结论和启示是通过问卷调查和访谈得到的,但是由于客观条件的限制和本人水平有限,课题的研究也存在一些不足。 (1) 从研究对象的范围上看,调查的学生来自于笔者所任教的一所高中的高二年级学生,样本的选取范围比较狭窄,在研究过程中得出的一些结论是否具有推广价值有待进一步证实。 (2) 由于此次研究的时间有限,笔者未能就该课题作一些课堂实践研究。希望以后能运用本次课题研究的结论,同时结合张景中教授的平角度量法作一些课堂教学方面的实践研究。 参考文献 [1] 谢志庆.多角度思考、深层次领悟——由 “弧度制”一课谈对教材的钻研[J].中学数学,2000,(2):11 [2] 张忠旺、杨少平. 弧度制[J]. 中学数学,2000,(8):17-18 [3] 熊远程. 关于“弧度制”的教材处理与教学建议[J]. 中学数学,2002,(10):9-10 [4] 张景中.三角下放 全局皆活(续)——初中数学课程结构性改革的一个方案[J].数学通报,2007,46(2):4-8 [5] 胡慧敏.HPM角度下的弧度制概念教学[J]. 数学教学,2008,(7):47-49 [6] 王尚志、胡凤娟、付丽、张思明、袁芹芹.为什么要引入弧度[J].中学数学教学参考.2008,(12):5-16 [7] 李士錡.PME:数学教育心理[M].上海:华东师范大学出版社.2001 [8] 曾容.弧度制的教学探讨[J].数学教学.1984(4):10-11 [9] 石志群. 从“弧度制”一课谈概念课教学原则的实施[J].中学数学(湖北).1994,(5):7-8 [10] 赵荣松.浅议弧度制的演示实验教学[J].阜阳师范学院学报(自然科学版).2002,19(4):75-77 [11] 徐章韬. 基于数学史的弧度制概念的教学设计[J].湖南教育.2008,(12):41-42 [12] 拾叶. 弧度制有什么优点[J].数学教学研究.1984,(3):40 [13] 田新. 一场有意义的争论——关于三角函数定义的两重性[J].数学通讯.1999,(1):13-14 [14] 尹建堂、张骁伟. 简议“弧度制”及其应用[J]. 数学通讯.2004,(6):1-2 [15] 蒋永红. 趣谈任意角和弧度制[J]. 数学通讯.2004,(16):93 [16] 李善良. 数学概念学习中的错误分析[J].数学教育学报. 2002,11(3):6-10 [17] 张小明.SOLO 理论在数学学习评价中的应用[J].中学数学杂志(高中).2005,(4):1-3 [18] 张景中.把数学变得容易一些[J].教师博览.2001,(3):6-7 [19] 李士锜. 熟能生笨吗?[J].数学教育学报.1999,8(3):15-18 [20] 李士锜 2000. 熟能生厌吗——三读熟能生巧问题. 数学教育学报, 9(1) [21] 上海市教育委员会编.上海市中小学数学课程标准(试行稿)[M].上海:上海教育出版社,2006:47 [22] 梁宗巨.数学历史典故[M].沈阳:辽宁教育出版社.2000:105—113 [23] 李善良.现代认知观下的数学概念学习与教学[M].南京:江苏教育出版社.2005:264—286,198—200 [24] Eli Maor.Trigonometric Delights[M].Princeton University Press,1998:15-18 [25] Erika Kupková.Developing the Radian Concept Understanding and the Historical Point of View [EB].:http://math.unipa.it/~grim/Quad18_Kupkova_08.pdf,2008 [26] Fi, C. Preservice Secondary School Mathematics Teachers’ Knowledge of Trigonometry[D]. USA:University of Iowa,2003 [27] Hatice Akkoc.Pre-service mathematics teacher’s concept images of radian[J].International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 2008,39(7):857-878. [28] Keiser, J. M. Struggles with developing the concept of angle: comparing six-grade students’ discourse to the history of the angle concept[J]. Mathematical Thinking and Learning.2004,6(3): 285-306 [29] Mitchelmore, M. C. Young students’ concepts of turning and angle[J]. Cognition and Instruction.1998,16 (3): 265-284 [30] Mitchelmore, M. C., White, P. Development of angle concepts by progressive abstraction and generalization[J]. Educational Studies in Mathematics. 2000,41(3): 209-238. [31]  Tara Adamek, Kaitlyn Penkalski, Gina Valentine.The history of Trigonometry [EB/OL].: http://www.math.rutgers.edu/~mjraman/History_Of_Trig.pdf,2005 [32] T.Topcu,M.Kertil,H.Akkoc,K.Yilmaz,O.Onder.Pre-service and in-service mathematics teachers’ concept images of radian[A].in Proceedings of the 30th International Conference on the Psychology of Mathematics Education[C]. 2006,(5):281-288 附录1

调查问卷

亲爱的同学,你好!

弧度制是高中阶段学习的一种新的度量角的制度,也是我们学习和应用三角知识的重要工具。为了了解你对弧度制概念的理解,我们编制了一套问题,诚恳希望你能认真独立地完成下面的题目。本测试只作为相关的研究材料,测试结果对你数学成绩没有任何影响。谢谢!

一、  你的背景信息:

学校__________班级___________学号___________性别_____________

二、测试题目:

1.  请用你自己的语言叙述1弧度角的概念。

2.       请你简单估算一下1弧度=____________度(精确到0.01)。

3.       请你叙述一下弧长公式。

4.       在下列圆中试着标出1弧度的角,并分别计算其所对的弧长。

 

5.       你认为弧长公式与一弧度的角之间存在关系吗?请说明理由。

6.       判断下列说法正确与否,并说明理由。

(1)       1rad是一个近似值。                          判断_____________

理由__________________________________________________________;

(2)       实数1=1(rad)                              判断_____________

理由___________________________________________________________;

(3)       1rad实质上指的是弧长的大小。                判断______________

理由___________________________________________________________;

(4)       如果一个角用弧度制表示了,那它一定含有 。  判断______________

理由___________________________________________________________;

7.       请你给出弧度制与角度制转换的一般公式,并将以下所给出的角度(弧度)转换成弧度(角度)。

一般公式: _______________rad; (________________)0;

(1) ____________;(2) ______________;(3) ______________;

(4) ___________;(5)- ___________;(6) =________________。

8. 若函数 (x∈R),其定义域为实数集,值域也为实数集,请在同一个直角坐标系中标出以下5组点(请注意(b)和(d)这两组坐标的纵坐标并不是建立在相应的横坐标基础上的): (a)   (b)  (c)  (d)  (e) 9. 若函数 (x∈R),已知 ,求x的值。 10.(1)请你解释一下什么是单位圆? (2)对你而言,在学习三角知识的过程中,直角三角形和单位圆的地位和重要性是怎样的? 附录2

访谈提纲

1、你认为角度制与弧度制有什么联系和区别吗?作为无理数的π和作为180°的π是如何联系起来的? 2、请你计算这样一个式子:cos(π²) 3、对你而言,在解决与三角有关的问题时,直角三角形和单位圆的地位分别是怎样的?更喜欢使用哪一种工具? 4、你是如何定义余弦函数的,如何画出它的图像?
教研文章录入:admin    责任编辑:admin 
  • 上一篇教研文章:

  • 下一篇教研文章:
  • 发表评论】【加入收藏】【告诉好友】【打印此文】【关闭窗口